Cette journée thématique a pour but de présenter des travaux récents de modélisation et d'analyse mathématique, tant théorique que numérique, autour des équations de Saint-Venant. Cette rencontre s'inscrit dans le cadre du groupe de travail HYPERBO de l'I2M.

La journée se déroulera le mardi 9 novembre 2021 sur le site du campus Saint Charles, salle des Voûtes (voir plan campus St Charles), d'Aix-Marseille Université.

Les exposés seront également accessibles en visio-conférence. Merci d'écrire à stvenant@sciencesconf.org afin de recevoir le lien de connexion.

• Enrique D. Fernandez Nieto (Université de Séville)
• Maria Kazakova (Université Savoie Mont Blanc)
• David Lannes (CNRS, Institut de Mathématiques de Bordeaux)
• Gaël Richard (INRAE, Grenoble)

9h30 : Accueil café

9h45 : Présentation de la journée

10h : David Lannes

11h15 : Maria Kazakova

12h30 : Déjeuner -  Buffet

14h : Gaël Richard

15h15 : Enrique Fernandez Nieto

16h30 : Café / Discussions

Enrique D. Fernandez Nieto

Mathematical modelling of bedload and polydisperse suspended sediment transport

Mathematical models for sediment transport are important to describe geophysical processes such as settling and sediment transport in rivers and estuaries as well as industrial applications in mineral processing, wastewater treatment, the building of hydraulic structures like dams or bridges and other fields. Sediment transport occurs mainly through two phenomena: bedload and suspended load. Bedload entails the transport of sediment particles rolling or sliding on the bed and jumping into the flow and then resting on the bed again. Particles transported by suspension are supported by the surrounding fluid during a significant part of the current and may also be deposited. In this talk we study both transport phenomena, beload and sediment suspension transport, including the possibility to have a  polydisperse suspension. The numerical approximation of these models will be also briefly discussed and finally several numerical tests will be presented.

Maria Kazakova

A new model of shoaling and breaking waves

Numerical simulations of water waves propagation with the free-surface Euler or Navier-Stokes equations is a complex and costly solution. It is computationally cheaper to use reduced models like Saint-Venant or Green-Naghdi systems. However, more advanced models are needed for an accurate description of small scale effects such as turbulence, for example. This talk is focused on the derivation of a new model which takes into account vorticity effects. This model averaged over the depth derived under the hypothesis of shallow water flow provides a breaking waves description. Turbulent effects are taken into account through an additional equation compared to the classical Green-Naghdi system. The new equations are solved numerically with the strategy of Le Métayer et al. (2010). The numerical simulations are in good agreement with the experimental data of Hsiao et al. (2008). This work opens a new perspective to the treatment of breaking waves: a new physical breaking criterion which is based on quantification of turbulent energy produced by the wave is proposed. This is a joint work with Gaël Richard (INRAE, Grenoble).

David Lannes

Quelques extensions du modèle de St-Venant pour l'océanographie côtière

On présentera dans cet exposé plusieurs prolongements du modèle de St-Venant que l'on peut-être amené à rencontrer pour l'étude des vagues en milieux côtiers. Une première classe de modèles est fournie par des perturbations dispersives des équations hyperboliques de St-Venant (Boussinesq, Green-Naghdi par exemple). Un second type de modèles est fourni par les systèmes augmentés introduits par Gavrilyuk-Richard d'une part (pour mieux décrire le déferlement), et d'autre part par Castro, Marche et moi-même pour comprendre les interactions vagues-courants. Nous verrons enfin comment la prise en compte d'objets flottants peut se traduire par l'imposition d'une contrainte qui transforme les équations en un système couplé de type hyperbolique-elliptique. On abordera quelques difficultés mathématiques et numériques spécifiques à ces variantes de St-Venant.

Gaël Richard

Équations pour l’hydraulique à surface libre en régime turbulent lisse avec cisaillement

Dans les équations de Saint-Venant, le cisaillement est négligé et le frottement est introduit empiriquement. Pour des écoulements turbulents sur fond lisse, en utilisant un modèle de turbulence de type longueur de mélange et dans l’hypothèse d’une faible profondeur, une méthode asymptotique permet de déterminer les champs jusqu’à l’ordre 1. Le champ de vitesse suit, à l’ordre 0, une loi log et diverge près du fond. Un deuxième adimensionnement, tenant compte de la viscosité, permet d’obtenir d’autres expressions asymptotiques des champs, valables dans une fine couche limite près du fond. Une procédure de raccordement asymptotique permet de relier les deux développements. Les développements asymptotiques finalement obtenus permettent de dériver un modèle moyenné sur la profondeur. À un certain ordre d’approximation, qui revient à négliger le cisaillement, les équations de Saint-Venant sont retrouvées avec une loi de frottement de type Kármán-Prandtl. À un niveau de précision plus élevé, le cisaillement apparaît ainsi que des termes correctifs de relaxation dans les termes sources. Les champs 3D peuvent être reconstruits à partir des variables du modèle 2D. La structure hyperbolique obtenue peut servir de base à un modèle plus complexe permettant de décrire les écoulements rapidement variés tels que les ressauts ou les trains de rouleaux (roll waves).